2009年度 電磁気学A (担当 町田)
2010. 2. 8 (Mon)

以下の問題[1]-[10]に答えよ。真空の誘電率をε0、透磁率をμ0とする。


[1]

真空中において電場Eおよび磁場(磁束密度)Bが満たすMaxwell方程式の積分形および微分形を書け。



[2]

(a) ベクトル場v=(ax+by,ax+by,ax+by+cz)に対する発散divvを求めよ。a,b,cは定数とする。

(b) ベクトル場w=(ay+b,-ax-b,cz)に対する回転rotwを求めよ。a,b,cは定数とする。

(c) ベクトルr=(x,y,z)に対する勾配gradrを求めよ。r=|r|≠0とする。



[3]

半径aの球の内部に電荷が電荷密度ρ(>0)で一様に分布している。
球の中心からの距離をrとして電場の大きさE(r)及び電位V(r)を求めよ。
無限遠における電位をV(∞)=0とする。



[4]

下記の物理量の大きさを記せ。

(a) 地磁気 (gauss)

(b) 金の電気抵抗率 (Ωm)

(c) 電子レンジの電磁波の周波数 (Hz)

(d) 光通信で使われる光の波長 (m)

(e) 水の比誘電率 (真空の誘電率ε0の何倍であるか。静電場に対する応答。)



[5]

導体でできた無限に長い円柱と円筒(パイプ)が真空中で同じ軸上に置かれている。
円柱の半径はa、円筒の内側の半径は2a、円筒の外側の半径は√5aである。

(a) 円筒-円柱間の静電容量(単位長さあたり)を求めよ。

(b) 円柱と円筒に向きが反対で同じ大きさの電流Iを軸方向に流す。
  中心軸からの距離をxとして磁場(磁束密度)の大きさB(x)を求めよ。




[6]

抵抗値Rの抵抗、インダクタンスLのコイル、起電力Vの低電圧電源を用いて図のような回路を組み、
時刻t=0においてスイッチSをつなぐ。コイルに流れる電流ILおよび(上側の)抵抗を流れる
電流IRの時間変化を求め、概形を図示せよ。




[7]

図のように、平行板コンデンサーの極板間が誘電率2ε0、厚さdの誘電体Aと
誘電率3ε0、厚さ3dの誘電体Bとで充たされている。極板間の電位差をVとする。

(a) 誘電体Aおよび誘電体Bの内部に生じる電場を求めよ。

(b) 誘電体Aと誘電体Bの境界面に現れる分極電荷の面密度を求めよ。




[8]

一辺の長さが2aおよび2√3aの長方形の導線に直流電流Iが流れている。
ビオ・サバールの法則を用いて、長方形の中心に生じる磁場Bの大きさを求めよ。



[9]

真空中を伝播する角振動数ω0の平面電磁波が誘電率ε=8ε0、透磁率μ=2μ0
一様な媒質へ垂直に入射する。入射する電磁波の電場成分E0の大きさをE0cos(k0z-ω0t)とする。

(a) 反射波の電場成分ERの大きさを求めよ。

(b) 透過波の電場成分ETの大きさを求めよ。

(c) 入射波、反射波、透過波のポインティングベクトルの大きさをS0、SR、STとする。
  電磁波の反射率R=SR/S0および透過率T=ST/S0を求めよ。



[10]

半径R、長さL(L≫R)の円柱状の導線がある。電気伝導率は中心軸からの距離xに依存してρ(x)=a+bx(a>0,b>0)の分布をもつ。
導線の両端に電圧Vをかけて電流を流す。導線の透磁率はμ=μ0とする。

(a) 導線内部の電流密度i(x)を求めよ。

(b) 導線内部および外部に生じる磁場(磁束密度)の大きさB(x)を求めよ。
  導線の両端での磁場の乱れは無視してよい。

(c) 導線に生じるジュール熱を求めよ。



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