科目名:数学TB
教員名:辻 雄
実施月・日・時限:9月1日(火) 2時限 試験時間90分
指定クラス:1年 理一 (22-27)
教科書等の持ち込み:不可
解答用紙:両面3枚 一冊 計算用紙:1枚

問1 (1枚目の表に解答すること)

(1) 極限 を計算せよ.

(2) 定積分 を計算せよ.

(3) 数列 an ,n=1,2,3,...は収束することを示せ.



問2 (1枚目の裏に解答すること)

2上の関数f(x,y)=(x2+xy2+y2)exが極大値,極小値をとる点を求めよ。



問3 (2枚目の表に解答すること)

f(x)=log(1+x)とし,f(x)のx=0における2次近似多項式をP(x)とする.

(1) P(x)を求めよ.

(2) テイラーの定理を用いて,x>0のとき,f(x)−P(x)>0となることを示せ.

(3)正の整数nに対し,次の不等式が成り立つことを示せ.eは自然対数の底とする.

 



問4 (2枚目の裏に解答すること)

D={(x,y)∈2|x>0,y>0}とする.実数a>0に対し,D内の曲線y=ax2,
x>0をCaで表す.D上で定義されたC1級関数f(x,y)が,各実数a>0に対し,曲
線Ca上で一定値をとるとする.((x1,y1),(x2,y2)∈Dが をみたすなら
ば,f(x1,y1)=f(x2,y2)が成り立つと言い換えることもできる.)このとき,



が成り立つことを示せ.



問5 (3枚目の表に解答すること)

xy平面上の曲線y=1-x2,-1≦x≦1をC1,曲線x2-1,-1≦x≦1をC2
とし,点(1,0)をAで表す.2点P,Qがそれぞれ曲線C1,C2上を動くときの,三角
形APQの面積の最大値を求めよ.




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